Home  /  Column  /  三角関数の最大・最小攻略

三角関数の最大・最小問題を
完全攻略する方法

2026.07  |  Math Strategy  |  読了時間：約9分

「三角関数は公式が多くて覚えきれない」と感じる高校生は多いです。しかし共通テスト数学IIで出題される三角関数の問題には明確なパターンがあります。sinθ と cosθ の基本的な性質を正確に理解し、最大・最小を求めるための3つのアプローチを身につけることで、三角関数の問題を得点源にできます。

三角関数が難しく感じる最大の理由は「公式の数」ではなく「どの公式をどの場面で使うか」の判断にある。実際には、共通テストで問われるパターンは本記事で紹介する3つのアプローチにほぼ集約される。角度そのものの計算より、パターン認識を優先して読み進めてほしい。

まず「単位円」でsinとcosを視覚化する

三角関数の理解は単位円から始まります。半径1の円（単位円）上の点 P(cosθ, sinθ) において、θ は原点から点 P への線分が x 軸の正方向となす角度です。このイメージを持つことで、sinθ と cosθ の値域（とりうる値の範囲）が直感的にわかります。

sinθ の値域は－1≦sinθ≦1、cosθ の値域も－1≦cosθ≦1 です。θ が変化すると sinθ と cosθ はこの範囲を周期的に変動します。「単位円上の点の y 座標が sinθ、x 座標が cosθ」と覚えると、角度に対応する値を視覚的に判断できるようになります。

「sinθ＝t と置き換える」変換テクニック

三角関数の最大・最小問題でよく使うテクニックが「sinθ＝t と置いて2次関数に帰着させる」方法です。たとえば y＝2sin²θ＋sinθ－1 の最大値を求める問題では、t＝sinθ（－1≦t≦1）と置くと y＝2t²＋t－1 という2次関数の問題になります。

2次関数になったら、平方完成して頂点を求め、定義域（－1≦t≦1）内での最大・最小を求めます。この「三角関数→2次関数」の変換は共通テストで頻繁に使われます。「sinθ が出てきたら t に置き換えることを考える」という発想が大切です。

先ほどの例を最後まで解く

y＝2t²＋t－1（－1≦t≦1）を実際に解いてみる。平方完成すると y＝2(t＋1/4)²－9/8。頂点は t＝－1/4 で、これは定義域 [－1, 1] の中に入っているので、最小値はそのまま頂点の y＝－9/8。最大値は定義域の両端を比べて判断する。t＝－1 のとき y＝2－1－1＝0、t＝1 のとき y＝2＋1－1＝2。大きい方の t＝1 が最大値2を与える。よって元の関数の最大値は2、最小値は－9/8。三角関数の問題も、tに置き換えた瞬間から先はいつもの2次関数の最大最小問題と同じ手順で解けることがわかる。

「三角関数の合成」で一本化する

a sinθ＋b cosθ という形は、三角関数の合成公式を使って r sin(θ＋φ) の形（1つの三角関数）に変換できます。ここで r＝√(a²＋b²)、φ は cosφ＝a/r かつ sinφ＝b/r を満たす角度です。

合成後は r sin(θ＋φ) の最大値が r、最小値が－r になります。a sinθ＋b cosθ の最大・最小は「√(a²＋b²) と－√(a²＋b²)」で求まります。この公式は共通テストで必ず使えるタイミングがあります。「sinとcosが混在していたら合成を疑う」という判断基準を持ちましょう。

合成の手順

3sinθ＋4cosθ を合成する例：r＝√(3²＋4²)＝√25＝5。cosφ＝3/5、sinφ＝4/5 を満たす φ を求めると（φ＝約53°）、3sinθ＋4cosθ＝5sin(θ＋φ) となります。最大値は5、最小値は－5です。

グラフの形を正確に描く力をつける

y＝A sin(Bθ＋C)＋D のグラフを素早く描けることも三角関数攻略の重要な力です。振幅は|A|（最大値と最小値の差の半分）、周期は 2π/B（B が大きいほど速く振動）、C は位相のずれ（グラフの横移動）、D は縦移動です。

問題でグラフの特徴（最大値・最小値・周期・x 軸との交点）を問われた場合は、A・B・C・D の役割を把握していれば即座に答えられます。「A は振れ幅、B は周期、C は横ずれ、D は縦ずれ」と覚えておきましょう。

よくある質問

Q. t＝sinθ と置き換えるとき、定義域を忘れてしまいます。なぜ必要なのですか？

A. tはどんな値でも取れるわけではなく、sinθの性質上、必ず－1以上1以下に収まるからです。この制限を忘れて2次関数だけを見て最大・最小を求めると、実際には起こり得ないtの値（例えばt＝3など）での最大値を答えてしまう間違いが起こります。置き換えた瞬間に「範囲はどこまでか」を必ずセットで書く習慣をつけてください。

Q. 合成公式のφ（位相）の値を毎回正確に求めるのが大変です。

A. 多くの共通テスト問題では、φの具体的な角度（度数）まで求める必要はなく、「r＝√(a²＋b²)である」ことと「最大値がr、最小値が－r」であることさえわかれば解ける設問がほとんどです。φの正確な値が必要な設問かどうかを問題文で見極め、不要な計算に時間を使わないようにしましょう。

まとめ