数I ・ 2次関数

平方完成と頂点

y = a(x−p)²+q のグラフは
頂点 (p, q)、軸 x = p

y = ax²+bx+c
= a(x+b/(2a))²−(b²−4ac)/(4a)

ひとことで言うと

2次式を「(かっこ)²+数」の形に直すと、グラフの頂点がすぐ読める

動く図解

左の図は x²+6x+4 をタイルで表したものです。x² の正方形の2辺に、6x を半分に分けた 3x のタイルを1枚ずつ貼ると、右下に 3×3 = 9 の正方形が1つ足りません。そこで 9 を足して、同じだけ引くと x²+6x+4 = (x+3)²−9+4 = (x+3)²−5 になります。右の図は、点線の y = x² のグラフを左に3、下に5 動かした y = (x+3)²−5 のグラフで、頂点は (−3, −5) です。

なぜ成り立つ?

タイルで正方形の部屋を作る

タイルを並べて正方形の部屋の床を作るところを想像してください。並べてみたら、角が1枚分だけ欠けていた。そんなときは、1枚足して正方形を完成させ、「その分は借りた」として引いておけば、タイルの量は変わりません。

平方完成はこれと同じです。x²+6x の形は、正方形のあと少しで角が欠けている状態。9 を足して (x+3)² という正方形を作り、足した 9 を引いておく。式の値は何も変わっていないのに、形だけが「(かっこ)²+数」に変わります。

式で確かめる

(x−p)² は2乗なので 0 以上で、x = p のときだけ 0 になります。

だから y = a(x−p)²+q は、x = p のとき y = q。a > 0 なら、ほかのどの x でも y は q より大きくなるので、点 (p, q) がグラフのいちばん下、つまり頂点です(a < 0 なら、いちばん上)。

使い方の例題

例題1:y = x²−4x+1 の頂点は?

x の係数 −4 の半分 −2 を使って、(x−2)² を作る
(x−2)² = x²−4x+4 なので、足した 4 を引く
y = (x−2)²−4+1 = (x−2)²−3

答え:頂点 (2, −3)

例題2:y = 2x²+8x+5 の頂点は?

x² の係数 2 で、x の項までをくくる:2(x²+4x)+5
かっこの中を平方完成:x²+4x = (x+2)²−4
2{(x+2)²−4}+5 = 2(x+2)²−8+5 = 2(x+2)²−3

答え:頂点 (−2, −3)

よくあるミス

(x+2)² の頂点の x座標を +2 と読む(正しくは −2。x+2 = 0 になる x を考える)
x² の係数でくくったあと、引く数にその係数をかけ忘れる(2(x+2)²−4+5 としてしまう)

確認の1問

y = x²+6x+4 のグラフの頂点は?