数B ・数列

等差数列の和

Sₙ = n(a+l)/2 = n{2a+(n−1)d}/2

a は初項、l は末項、d は公差、n は項数

ひとことで言うと

(最初+最後)×個数÷2

動く図解

1, 3, 5, …, 19 の10個の数を、高さ 1, 3, 5, …, 19 のブロックの列にして階段を作ります。同じ階段をもう1つ用意して 180° 回し、もとの階段のすき間に組み合わせると、どの列も高さ 1+19 = 20 になり、横 10 列の長方形ができます。長方形のブロックは 20×10 = 200 個なので、もとの階段はその半分の 100 個です。

なぜ成り立つ?

階段に積んだ缶を2セット使う

お店の棚に、缶が階段状に積んであるとします。1列目に1個、2列目に3個、3列目に5個……と増えていく積み方です。1つずつ数えるのは大変ですよね。

そこで、同じ積み方をもう1セット用意して、逆さにして上から重ねます。すると、少ない列には多い列が、多い列には少ない列が組み合わさって、どの列も同じ高さの長方形になります。長方形なら「高さ×列の数」で一瞬で数えられるので、それを半分にすれば、もとの缶の数がわかります。

式で確かめる

和 S を、前から書いたものと後ろから書いたものの2通りで表して、縦に足します。

S = a+(a+d)+…+l
S = l+(l−d)+…+a

上下の組はどれも a+l になります(片方が d 増えるとき、もう片方は d 減るから)。その組が n 個あるので 2S = n(a+l)、つまり S = n(a+l)/2 です。末項 l = a+(n−1)d を代入すると、n{2a+(n−1)d}/2 の形になります。

使い方の例題

例題1:1+3+5+…+19 を求めよ

初項 1、末項 19、公差 2。項数は (19−1)÷2+1 = 10
S = 10×(1+19)/2
= 10×20/2 = 100

答え:100

例題2:初項 2、公差 3、項数 20 の等差数列の和を求めよ

末項 l = 2+(20−1)×3 = 2+19×3 = 59
S = 20×(2+59)/2
= 20×61/2 = 610

答え:610

よくあるミス

項数の数えまちがい(5, 10, …, 50 は 9 項ではなく 10 項。項数 = (末項−初項)÷公差+1)
一般項で n×d としてしまう(正しくは (n−1)d)
÷2 を忘れる

確認の1問

3+7+11+…+39 の和は?