logは「何乗？」と聞いているだけ
指数・対数がこわくなくなる考え方
「log が出てきた瞬間に手が止まる」という相談は、数学IIの単元の中でも特に多いものです。話を聞くと、log を「よくわからない記号」として丸暗記しようとしているケースがほとんどでした。実は log は、「何乗したらその数になる？」という質問に名前をつけただけのものです。そこが腑に落ちると、公式も条件も一気に覚えやすくなります。
共通テストの数学II・B・Cでは、指数・対数は必答問題の範囲に含まれていて、2025年度は必答問題の大問として出題されました。年度によって必答問題に入る単元の組み合わせは変わりますが、三角関数や微分・積分の問題の途中で指数・対数の計算が必要になることもあるので、どの年でも避けては通れない基礎です。
紙を何回折れば富士山を超える？
厚さ 0.1mm の紙を半分に折ると 0.2mm、もう一度折ると 0.4mm。1回折るたびに厚さは2倍になります。では、何回折れば富士山の高さ 3776m を超えるでしょうか（実際の紙はそんなに折れないので、計算上の話です）。
n 回折ったときの厚さは 0.1×2ⁿ mm です。2ⁿ は n が増えると急に大きくなります。2¹⁰＝1024 なので、10回折るとおよそ1000倍の約10cm。20回で約100万倍の約105m。そして 25回で 2²⁵＝33,554,432 倍の約3355m、26回で 2²⁶＝67,108,864 倍の約6711m。たった26回で富士山を超えてしまいます。
この「同じ数を何回も掛ける」のが指数で、「何回掛けたら目標に届くか」を逆に聞くのが対数です。
log の正体は「何乗？」
log₂8 は、「2を何乗したら8になる？」という質問の答えです。2³＝8 なので log₂8＝3。同じように log₂32＝5、log₁₀1000＝3 です。小さく書く数（log₂ の 2）を底、log の後ろの数（8）を真数と呼びます。
logₐM＝p と aᵖ＝M は同じことを言っている
「a を p 乗すると M」を、M の側から言い直したのが logₐM＝p。log の式で迷ったら、いつでも指数の式に書き直して考えればよい。
公式は「指数のルール」の言い換え
対数の公式はたくさんあるように見えますが、どれも指数のルールを言い換えただけです。
| 指数のルール | 対数の公式 |
|---|---|
| 2ᵃ×2ᵇ＝2ᵃ⁺ᵇ（掛け算は指数の足し算） | log₂MN＝log₂M＋log₂N |
| 2ᵃ÷2ᵇ＝2ᵃ⁻ᵇ（割り算は指数の引き算） | log₂(M/N)＝log₂M－log₂N |
| (2ᵃ)ᵏ＝2ᵏᵃ（累乗は指数の掛け算） | log₂Mᵏ＝k log₂M |
たとえば log₂(8×4) は、8＝2³、4＝2² で 8×4＝2⁵ なので 5。公式どおり log₂8＋log₂4＝3＋2＝5 になります。「掛け算が足し算に変わる」のが対数の一番便利なところで、大きな数の計算を足し算で済ませられるのはこのためです。
底をそろえる「底の変換公式」
底がちがう対数どうしは、底の変換公式 logₐb＝log꜀b÷log꜀a で底をそろえます。たとえば log₄8 は、底を2にそろえると log₂8÷log₂4＝3÷2＝3/2。確認すると 4³/²＝(√4)³＝2³＝8 なので合っています。
真数条件と底の向きで点を落とさない
指数・対数の方程式や不等式で最も多い失点は、計算ミスではなく条件の見落としです。
真数は必ず正
log の真数は正の数でなければなりません。2を何乗しても 0 や負の数にはならないからです。方程式 log₂(x－1)＋log₂(x＋1)＝3 を解くと、左辺をまとめて log₂(x－1)(x＋1)＝3、つまり (x－1)(x＋1)＝2³＝8 から x²＝9 で x＝±3 が出てきます。ここで真数条件 x－1＞0 かつ x＋1＞0、つまり x＞1 を確認すると、x＝－3 は不適で答えは x＝3 だけです。x＝3 を代入すると log₂2＋log₂4＝1＋2＝3 となり、確かに成り立ちます。
方程式を解く前に、真数条件を先に書く
解いてから思い出すと忘れやすい。問題を読んだら最初に「真数＞0」を式の横にメモしておく。
底が1より小さいと不等号の向きが逆になる
(1/2)ˣ＞1/8 を考えます。1/8＝(1/2)³ なので (1/2)ˣ＞(1/2)³。ここで「x＞3」としてしまうのが典型的なミスです。底の 1/2 は1より小さいので、x を大きくするほど (1/2)ˣ は小さくなります（半分、そのまた半分と減っていく）。だから不等号の向きは逆になり、答えは x＜3 です。底が1より大きいときは向きはそのまま、1より小さいときは逆、と覚えておきましょう。
大小比較と桁数は「そろえる」が合言葉
大小比較
2³⁰ と 3²⁰ はどちらが大きいでしょうか。指数を10でそろえると、2³⁰＝(2³)¹⁰＝8¹⁰、3²⁰＝(3²)¹⁰＝9¹⁰。8 より 9 のほうが大きいので 3²⁰ のほうが大きいとわかります。対数どうしの比較も同じで、log₂3 と 1.5 を比べるなら、2¹·⁵＝2√2（約2.83）が 3 より小さいので、log₂3 のほうが 1.5 より大きいと判断できます。
桁数は常用対数で数える
底が10の対数（常用対数）を使うと、大きな数の桁数がわかります。log₁₀2 を約 0.3010 とすると、2⁵⁰ の常用対数は 50×0.3010＝15.05。これは 2⁵⁰ が 10¹⁵ 以上 10¹⁶ 未満ということなので、2⁵⁰ は16桁の数です（実際に 2⁵⁰＝1,125,899,906,842,624 で16桁）。
最初の紙の問題も対数で解けます。0.1×2ⁿ mm が 3776m＝3,776,000mm を超えるには 2ⁿ＞37,760,000 が必要です。両辺の常用対数をとると n×0.3010＞約7.58 となり、n＞約25.2。整数で考えて n＝26 回とわかり、さきほどの計算と一致します。
log₂x+log₂(x−3)=2 を解く正しい手順はどれか。
左辺をまとめると log₂x(x−3)=2 なので x(x−3)=2²=4。x²−3x−4=0 を因数分解すると (x−4)(x+1)=0 で x=4, −1。ここで真数条件 x>0 かつ x−3>0、つまり x>3 を確認すると x=−1 は不適で、答えは x=4 だけです。x=3 は真数 x−3 が 0 になるので使えません。
よくある質問
Q. log₁₀2＝0.3010 は覚えないといけませんか？
A. 共通テストでは、必要な場合は問題文で値が与えられることが多いです。ただ、log₁₀2 が約0.3、log₁₀3 が約0.48 と知っていると、計算結果が大きく外れていないかの確認に使えるので、目安として覚えておくと便利です。
Q. 指数の方程式で、2ˣ を t と置いたあと何に気をつければいいですか？
A. t＝2ˣ は必ず正の数（t＞0）になる、という条件を忘れないことです。t の2次方程式を解いて t＝－1 のような負の解が出たら、それは捨てます。三角関数で sinθ＝t と置いたときに範囲をセットで書くのと同じ考え方です。
Q. 対数の計算で、どの公式から使えばいいか迷います。
A. まず底をそろえ、次に真数を素因数分解して、掛け算を足し算に分けるのが基本の流れです。たとえば log₂24 なら 24＝2³×3 なので log₂24＝3＋log₂3。迷ったら「底をそろえる → 真数を分解する」の順に試してみましょう。
まとめ
✦ logₐM は「a を何乗したら M？」の答え。迷ったら指数の式に書き直す
✦ 対数の公式は指数のルールの言い換え。掛け算は足し算に、累乗は掛け算になる
✦ 方程式・不等式は、最初に真数条件（真数＞0）を書く
✦ 底が1より小さいときは不等号の向きが逆になる
✦ 大小比較は指数か底をそろえる。桁数は常用対数で数える
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