数I ・図形と計量

正弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

R は外接円の半径

ひとことで言うと

向かい合う「辺」と「角」はペア。その比はどのペアでも同じで、外接円の直径になる

動く図解

三角形ABCと、その外接円(中心O、半径R)の図です。点Aを円周上のどこに動かしても、弦BCを見こむ角A(円周角)は 50° のまま変わりません。辺 a(= BC)も R も変わらないので、a/sinA は一定です。B を通る直径 BA' を引くと、∠A' = ∠A、∠BCA' = 90° になり、直角三角形 A'BC で a = 2R sinA、つまり a/sinA = 2R とわかります(図はこの状態)。

なぜ成り立つ?

劇場の客席で考える

丸い劇場を思いうかべてください。客席は円の周りにぐるっと並んでいて、舞台 BC も円周の一部にあります。円周角の定理のおかげで、客席のどこに座っても、舞台の両端を見る角度は同じです。

舞台の幅 a と、そこを見る角度 A の関係は、座る席には関係なく、劇場(円)の大きさだけで決まります。だから「a と sinA の比」は、円の大きさを表す 2R という1つの数になるのです。辺 b と角 B、辺 c と角 C のペアでも、同じ円を使うので同じ値になります。

式で確かめる

B を通る直径 BA' を引きます。A が鋭角のとき、A と A' は弦 BC について同じ側にあるので、円周角の定理で ∠A' = ∠A。また BA' は直径なので ∠BCA' = 90° です。

直角三角形 A'BC で、斜辺 BA' = 2R、角 A' の向かいの辺が BC = a なので

BC = BA' sinA'
つまり a = 2R sinA

両辺を sinA で割ると a/sinA = 2R。b、c についても同じように示せます。

使い方の例題

例題1:A = 45°、B = 60°、a = 4 のとき、b は?

a と A、b と B がペア。a/sinA = b/sinB を b について解く
b = a sinB / sinA
= 4×(√3/2)÷(√2/2) = 4√3/√2 = 2√6

答え:b = 2√6

例題2:a = 6、A = 30° のとき、外接円の半径 R は?

a/sinA = 2R を使う
2R = 6/(1/2) = 12

答え:R = 6(2R = 12 で止めない)

よくあるミス

2R を R と取りちがえる(a/sinA で出てくるのは直径)
向かい合っていない辺と角を組にする
sinB = 1/2 から角を出すとき、B = 30° だけでなく 150° の可能性もある(三角形の角の和が 180° になるかで判断する)

確認の1問

B = 30°、b = 5 のとき、外接円の半径 R は?