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図形の性質は「比」と「円」の2本柱
角の二等分線・メネラウス・方べきの使いどころ

2026.10  |  Math Strategy  |  読了時間：約10分

図形の性質の授業でいちばん多い質問は、「メネラウスの式は覚えたのに、どの三角形に使えばいいかわからない」です。公式そのものは1行で書けるのに、図の中から三角形と直線を選べないせいで手が止まってしまう。図形の性質は、公式を覚える分野というより「どの道具をどこに当てるか」を決める分野です。

共通テストの数学I・Aでは、図形の性質は第3問(20点)として出題され、大問4つすべてが必答です。範囲は広く見えますが、中心にあるのは「辺の比」と「円」の2本柱。この記事では、その2本柱に沿って、よく使う定理の使いどころを整理します。

柱1：辺の比 ── 角の二等分線から始める

角の二等分線は「となりの辺の比」に分ける

三角形 ABC で、∠A の二等分線が辺 BC と点 D で交わるとき、BD：DC＝AB：AC が成り立ちます。辺 BC を「半分」に分けるのではなく、「A のとなりにある2辺の比」に分けるのがポイントです。

なぜそうなるかは、面積で考えるとすっきりします。△ABD と △ACD は、BC を底辺と見ると高さが同じなので、面積の比は BD：DC です。一方、AD を共通の辺と見ると、どちらも「AD と、A のとなりの辺がはさむ角が ∠A の半分」の三角形なので、面積の比は AB：AC になります。同じ面積の比を2通りに表したので、BD：DC＝AB：AC です。

実際に計算してみる

AB＝5、AC＝3、BC＝4 の三角形で、∠A の二等分線と BC の交点を D とします。BD：DC＝5：3 なので、BD＝4×5/8＝5/2、DC＝4×3/8＝3/2。足すと 5/2＋3/2＝4 で、BC の長さと一致します。

チェバとメネラウスは「一筆書き」で覚える

2つの定理の形

三角形 ABC の辺(またはその延長)の上に点をとったとき、比どうしをかけると 1 になる、というのがチェバの定理とメネラウスの定理です。

• チェバの定理：三角形の3つの頂点から引いた3本の線が1点で交わるとき、(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)＝1(F は AB 上、D は BC 上、E は CA 上の点)
• メネラウスの定理：1本の直線が三角形の3辺(またはその延長)を横切るとき、同じ形の積が 1

式の形はそっくりで、覚え方も同じです。「頂点 → 分点 → 頂点 → 分点 …」と、三角形のまわりを一筆書きでぐるっと1周するように比を書いていきます。A から出発して A に戻ってくれば、分子と分母の取り違えは起きません。

どちらを使うか

例題：交点で分けられる比を求める

三角形 ABC で、辺 AB を 2：1 に内分する点を P、辺 BC の中点を Q とし、線分 AQ と CP の交点を R とします。AR：RQ を求めましょう。

ここで大事なのが「どの三角形と、どの直線を見るか」です。求めたいのは AQ 上の比なので、AQ を1辺に持つ三角形 ABQ に注目し、それを横切る直線 CP(点 P、R、C を通る)にメネラウスの定理を使います。

三角形 ABQ のまわりを A から一筆書きで回ると、(AP/PB)×(BC/CQ)×(QR/RA)＝1。AP/PB＝2、BC/CQ＝2(Q は BC の中点なので BC は CQ の2倍)を入れると、2×2×(QR/RA)＝1 より QR/RA＝1/4。よって AR：RQ＝4：1 です。

同じように三角形 BCP と直線 AQ を見ると、(BQ/QC)×(CR/RP)×(PA/AB)＝1 から 1×(CR/RP)×(2/3)＝1 となり、CR：RP＝3：2 も求まります。

柱2：円 ── 方べきの定理と内接四角形

方べきの定理は「同じ点から出る2本の線の積」

円と点 P があり、P を通る2本の直線がそれぞれ円と A、B および C、D で交わるとき、PA×PB＝PC×PD が成り立ちます。これが方べきの定理です。P が円の内側にあっても外側にあっても、同じ形で使えます。

• 円の内側で交わる例：2本の弦 AB と CD が点 P で交わり、PA＝4、PB＝3、PC＝6 のとき、4×3＝6×PD より PD＝2
• 接線がある例：円の外の点 P から引いた直線が円と A、B で交わり(A のほうが P に近い)、PA＝3、PB＝12 のとき、P から引いた接線の接点を T とすると PT²＝PA×PB＝36 なので PT＝6

ここでのつまずきは、PB の代わりに AB を使ってしまうことです。方べきの定理は「点 P からの長さ」どうしの積なので、どちらも P から測った長さを使います。

円に内接する四角形は「向かい合う角の和が180°」

四角形 ABCD が円に内接しているとき、向かい合う角の和は 180° です。∠A＝70° なら ∠C＝110° になります。また、1つの角の外角は、それと向かい合う内角に等しくなります。逆に、向かい合う角の和が 180° になる四角形は円に内接する、という「逆」も問題でよく使われます。

あわせて押さえておきたいのが接弦定理です。円の接線と、接点を通る弦がつくる角は、その角の内側にある弧に対する円周角に等しくなります。接線が出てきたら、「方べき」と「接弦定理」の2つをまず疑うと、手がかりが見つかりやすくなります。

よくある質問

Q. チェバとメネラウス、どちらを使うか毎回迷います。

A. 図の中に「1点で交わる3本の線」があればチェバ、「三角形を横切る1本の直線」があればメネラウスです。迷ったら、求めたい比を含む辺を1辺に持つ三角形を探し、その三角形を横切る直線があるかを見てください。多くの問題ではメネラウスのほうが出番が多くなります。

Q. 図形の問題で、補助線が思いつきません。

A. 共通テストの図形の性質は、問題文が誘導してくれる形が多く、自分で補助線を発明する場面は多くありません。まずは問題文に出てくる点と線をすべて図に描き込み、「比があるか」「円があるか」の2つを確認しましょう。そのうえで、角の二等分線・チェバ・メネラウス・方べき・内接四角形のどれが使えるかを順に当てはめていくと、たいていの問題は進められます。

Q. 図はどのくらい正確に描けばいいですか？

A. 定規やコンパスで正確に描く必要はありませんが、「比が極端にちがう図」は避けましょう。たとえば 2：1 の点を真ん中に描くと、答えの見当がつかず、計算ミスにも気づけません。だいたいの比を守って大きめに描くだけで、答えが図と合っているかを目で確かめられるようになります。

まとめ