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数と式は「かたまり」で見る
置きかえ・対称式・有理化・絶対値のコツ

2026.10  |  Math Strategy  |  読了時間：約10分

「数と式」は、高校数学でいちばん最初に習う単元です。中学の計算の続きに見えるので、「計算をがんばれば何とかなる」と思われがちですが、授業で見ていると、点が伸びない生徒ほど式を1文字ずつバラバラに計算しています。逆に得意な生徒は、式の中から「ひとかたまり」を見つけて、計算そのものを短くしています。

共通テストの数学I・Aでは、第1問(30点)の前半〔1〕が「数と式」の範囲(集合と命題を含む)から出題されます。2025年は2次方程式の解をテーマにした計算に必要十分条件を組み合わせた問題、2026年は整数の集合を扱う集合と命題の問題と、年によって中身は変わります。ただ、どの年でも土台になるのは「式をかたまりで見る力」です。この記事では、そのコツを4つに分けて整理します。

コツ1：同じ形は「1つの文字」に置きかえる

引っ越しの段ボールと同じ

引っ越しのとき、本を1冊ずつ運ぶ人はいません。段ボールに詰めて、箱ごと運びます。式の計算も同じで、何度も出てくる同じ形は「1つの箱」とみなして、1文字に置きかえると一気に見通しがよくなります。

例1：(x＋3)²＋4(x＋3)＋4 を因数分解する

(x＋3) が2回出てきます。これを t とおくと、式は t²＋4t＋4 になります。これは中学で習った形で、(t＋2)² と因数分解できます。最後に t を x＋3 に戻すと、(x＋3＋2)²＝(x＋5)² です。

いきなり (x＋3)² を展開して x²＋6x＋9＋4x＋12＋4 とやっても答えは出ますが、項が増えるぶん計算ミスの危険も増えます。

例2：x⁴－13x²＋36 を因数分解する

x⁴ は (x²)² なので、x² を t とおくと t²－13t＋36 になります。かけて 36、足して －13 になる2数は －4 と －9 なので、(t－4)(t－9)。t を x² に戻すと (x²－4)(x²－9) です。

ここで止めると減点です。x²－4 も x²－9 も、まだ「2乗－2乗」の形なので、さらに (x＋2)(x－2)(x＋3)(x－3) まで分解して完成です。

コツ2：対称式は「合計」と「積」だけで決まる

2人の所持金のたとえ

AさんとBさんの所持金が、それぞれいくらかはわからなくても、「2人の合計」と「2人の所持金をかけた値」がわかっていれば、計算できることがたくさんあります。x と y を入れかえても形が変わらない式(x²＋y²、x³＋y³、1/x＋1/y など)を対称式といい、対称式は必ず x＋y と xy の2つだけで表せます。

例題：x＝2＋√3、y＝2－√3 のとき

まず「合計」と「積」を出します。

• x＋y＝(2＋√3)＋(2－√3)＝4
• xy＝(2＋√3)(2－√3)＝4－3＝1

√3 が両方とも消えて、きれいな整数になりました。あとはこの2つを使うだけです。

たとえば x²＋y² を、x² と y² を別々に計算して求めると、(2＋√3)²＝7＋4√3、(2－√3)²＝7－4√3 で、足すと 14。表の答えと一致します。どちらでも答えは出ますが、x³＋y³ のように次数が上がるほど、「合計と積」を使うほうが圧倒的に速くなります。

コツ3：有理化は「分母をきれいな数にする」作業

なぜ分母の √ を消すのか

1÷1.414… という割り算を筆算でするのは大変ですが、1.414…÷2 なら簡単です。分母から √ を消して整数にすると、その数がだいたいどのくらいの大きさなのかがすぐにわかります。これが有理化をする理由です。

例：1/(√3－1) を有理化する

分母の √3－1 に、符号だけを変えた √3＋1 をかけます。(a－b)(a＋b)＝a²－b² の形になるので、分母は (√3)²－1²＝3－1＝2。分子にも同じ √3＋1 をかけるのを忘れずに、答えは (√3＋1)/2 です。√3 はおよそ 1.73 なので、この数はおよそ 1.37 だとすぐにわかります。

整数部分・小数部分もセットで

「√10 の整数部分を a、小数部分を b とする」という問題もよく出ます。9＜10＜16 なので 3＜√10＜4。整数部分は a＝3 で、小数部分は「もとの数から整数部分を引いたもの」なので b＝√10－3 です。小数部分を 0.16… のように小数で書くのではなく、引き算の形で表すのがポイントです。

このとき b(b＋6) を求めると、b＋6＝√10＋3 なので (√10－3)(√10＋3)＝10－9＝1。ここでも「符号だけちがう2数をかけると √ が消える」形が活躍します。

コツ4：絶対値は「距離」、不等式は「向き」に注意

絶対値は数直線上の距離

|x－2|＜3 は、「数直線の上で、x と 2 の距離が 3 より小さい」という意味です。家(2の位置)から3歩以内の範囲と考えると、左に3歩で －1、右に3歩で 5 なので、答えは －1＜x＜5 です。場合分けをしなくても、図をイメージするだけで答えが出ます。

もう1つ、よくあるつまずきが √(a²)＝a としてしまうミスです。正しくは √(a²)＝|a| で、たとえば √((1－√3)²) は 1－√3 ではありません。1－√3 は負の数(およそ －0.73)なので、絶対値をつけて √3－1 が正解です。

マイナスをかけると不等号の向きが変わる

2＜3 は正しいですが、両辺に －1 をかけると －2 と －3 になり、今度は －2＞－3 です。借金で考えると、2万円の借金より3万円の借金のほうが手元のお金は少ない、ということです。

たとえば －2x＋3＞7 を解くと、－2x＞4。ここで両辺を －2 で割るので向きが変わり、x＜－2 です。

連立不等式は、それぞれを解いてから数直線の上で重なる部分を探します。2x－3＞1 から x＞2、x＋2＜6 から x＜4 なので、両方を満たすのは 2＜x＜4 です。

よくある質問

Q. 置きかえは、どんなときに使えばいいですか？

A. 同じ形が2回以上出てきたとき、または x⁴ と x² のように「ある式の2乗」が見えるときが合図です。置きかえる前に「この部分を1文字にしたら、知っている形になるか」を考えてみてください。知っている形にならないなら、置きかえ以外の方法を探すほうが早いことが多いです。

Q. 対称式の問題で、x と y をそのまま代入してはいけないのですか？

A. 代入しても答えは出るので、まちがいではありません。ただ、x＝2＋√3 のような数を3乗するのは計算量が多く、ミスもしやすくなります。共通テストは時間との勝負なので、「まず x＋y と xy を出す」を習慣にすると、計算が短く、ミスも減ります。

Q. 有理化をしないで答えると、まちがいになりますか？

A. 共通テストは解答欄の形が決まっているので、多くの場合は有理化した形で答えることになります。分母に √ が残ったままだと、解答欄の形に合わないことがあります。答えを出したら「分母に √ が残っていないか」を最後に確認する習慣をつけましょう。

まとめ